A finiteness result for the compactly supported cohomology of rigid analytic varieties, II

— Let h : X → Y be a separated morphism of adic spaces of finite type over a non-archimedean field k with Y affinoid and of dimension 6 1, let L be a locally closed constructible subset of X and let g : (X, L)→ Y be the morphism of pseudo-adic spaces induced by h. Let A be a noetherian torsion ring with torsion prime to the characteristic of the residue field of the valuation ring of k and let F be a constant A-module of finite type on (X, L)ét. There is a natural class C (Y ) of A-modules on Yét generated by the constructible A-modules and the Zariskiconstructible A-modules. We show that, for every n ∈ N0, the higher direct image sheaf with proper support Rg!F is generically constructible, and if h is locally algebraic, Rg!F is an element of C (Y ). As an application we obtain a comparison isomorphism for the `-adic cohomology of a separated scheme of finite type over k and its associated adic space. Résumé. — Soit h : X → Y un morphisme séparé d’espaces adiques de type fini sur un corps non archimédien k avec Y affinoïde et de dimension 6 1. Soit L un sous-ensemble constructible localement fermé dans X et soit g : (X, L) → Y le morphisme d’espaces pseudo-adiques induit de h. Soit A un anneau noethérien de torsion première à la caractéristique résiduelle de k et soit F un faisceau de A-modules localement constant de type fini sur (X, L)ét. Il y a une classe naturelle C (Y ) des faisceaux de A-modules sur Yét engendrée par des faisceaux de Amodules constructibles et des faisceaux de A-modules Zariski-constructibles. Nous montrons que le faisceau image directe à support propre Rg!F est génériquement constructible, et si h est localement algébrique, Rg!F est un élément de C (Y ). En conséquence, on obtient un théorème de comparaison entre cohomologie `-adique d’un schéma séparé de type fini sur k et de l’espace adique associé.